Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Lý thuyết và Bài tập

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học 10. Vậy hệ tọa độ mặt phẳng là gì? Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng lớp 10 cần ghi nhớ gì? Các phương pháp giải bài toán tọa độ trong mặt phẳng?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Mục lục

  • 1 Lý thuyết hệ tọa độ trong mặt phẳng Oxy
    • 1.1 Hệ tọa độ trong mặt phẳng là gì?
    • 1.2 Phương trình đường thẳng là gì?
      • 1.2.1 Định nghĩa phương trình đường thẳng là gì?
      • 1.2.2 Cách viết phương trình đường thẳng
    • 1.3 Phương trình đường tròn là gì?
    • 1.4 Phương trình đường Elip là gì?
  • 2 Phương pháp giải toán tọa độ trong mặt phẳng
    • 2.1 Các bài toán liên quan đến đường thẳng
      • 2.1.1 Dạng bài viết phương trình đường thẳng 
      • 2.1.2 Dạng bài về khoảng cách
      • 2.1.3 Dạng bài về góc khi viết phương trình đường thẳng
    • 2.2 Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến đường tròn 
      • 2.2.1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( M(x_0;y_0) ) trên đường tròn
      • 2.2.2 Phương trình tiếp tuyến qua điểm ( N(x_N;y_N) ) nằm ngoài đường tròn
      • 2.2.3 Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
    • 2.3 Các bài toán liên quan đến phương trình Elip
      • 2.3.1 Dạng bài viết phương trình Elip
      • 2.3.2 Dạng bài tìm giao điểm giữa đường thẳng và Elip
      • 2.3.3 Dạng bài tìm điểm trên Elip thỏa mãn điều kiện
  • 3 Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng khó và nâng cao
    • 3.1 Dạng bài toán về các đường trong tam giác
    • 3.2 Dạng bài tập phương trình đường thẳng có tham số

Lý thuyết hệ tọa độ trong mặt phẳng Oxy

Hệ tọa độ trong mặt phẳng là gì?

Hệ gồm 2 trục ( Ox, Oy ) vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc ( Oxy ) trong mặt phẳng với :

  • ( Ox ) là trục hoành
  • ( Oy ) là trục tung

Phương trình đường thẳng là gì?

Định nghĩa phương trình đường thẳng là gì?

lý thuyết phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

kiến thức phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Xem chi tiết >>> Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Cách viết phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

  • Hai điểm bất kì (A(x_a;y_a); B(x_b;y_b)) với (x_aneq x_b) và (y_aneq y_b)

(frac{x-x_a}{x_b-x_a}=frac{y-y_a}{y_b-y_a})

  • Hai điểm có cùng hoành độ (A(m;y_a); B(m;y_b))

(x=m Leftrightarrow x-m=0)

  • Hai điểm có cùng tung độ (A(x_a;m); B(x_b;m))

(y=m Leftrightarrow y-m=0)

  • Hai điểm thuộc hai trục tọa độ (A(a;0); B(0;b)) với (a;bneq 0)

(frac{x}{a}+frac{y}{b}=1) ( Phương trình đoạn chắn )

Phương trình đường thẳng đi qua điểm (M(x_0;y_0)) có hệ số góc ( k )

(y-y_0=k(x-x_0))

Phương trình đường thẳng ( Delta ) đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với đường thẳng (d: Ax+By+C=0) cho trước

(Delta parallel d : Ax+By+C’=0) với (C neq C’)

(Delta bot d : -Bx+Ay+m =0)

tìm hiểu phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

tổng hợp phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phương trình đường tròn là gì?

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương trình đường tròn

Phương trình tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn

Cho điểm (M(x_0;y_0)) nằm trên đường tròn ((C): (x-a)^2+(y-b)^2=R^2). Khi đó phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( (C) ) tại ( M ) là :

((x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0)

Chu vi đường tròn : (C=2pi R)

Diện tích hình tròn : (S=pi R^2)

Xem chi tiết >>> Phương trình đường tròn qua phép tịnh tiến

Xem chi tiết >>> Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Xem chi tiết >>> Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng   

Phương trình đường Elip là gì?

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương trình elip

Xem chi tiết >>> Phương trình Elip là gì? Tìm hiểu phương trình Elip

Phương pháp giải toán tọa độ trong mặt phẳng

Các bài toán liên quan đến đường thẳng

Dạng bài viết phương trình đường thẳng 

Chúng ta sử dụng các công thức ở phần trên để lập phương trình đường thẳng dựa vào các dữ kiện của đề bài

Ví dụ

Trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) cho tam giác ( ABC ) có (A(-2;1); B(2;3); C(1;-5)). Viết phương trình đường phân giác trong của góc (widehat{ABC})

Cách giải 

Áp dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm bất kì ta có :

Phương trình đường thẳng (AB: frac{x+2}{4}=frac{y-1}{2}Leftrightarrow x-2y+4=0)

Phương trình đường thẳng (AC : frac{x+2}{3}=frac{y-1}{-6}Leftrightarrow 2x+y-3=0)

Vậy áp dụng công thức phương trình đường phân giác ta có: phương trình đường phân giác trong của góc (widehat{ABC}) là:

(frac{x-2y+4}{sqrt{1^2+2^2}}=frac{2x+y-3}{sqrt{2^2+1^2}})

(Leftrightarrow x+3y-7=0)

Dạng bài về khoảng cách

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (M(x_0;y_0)) và cách điểm (A(x_A;y_A)) một khoảng bằng ( h ) cho trước.

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và dạng bài khoảng cách

Ví dụ 

Lập phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm ( A(3;4) ) và cách điểm ( B(-1;1) ) một khoảng bằng ( 4 )

Cách giải

Vì (A(3;4)in dRightarrow) phương trình tổng quát của đường thẳng ( d ) có dạng :

(a(x-3)+b(y-4)=0)

Khi đó:

(4=d(B,d)=frac{|-4a-3b|}{sqrt{a^2+b^2}})

(Leftrightarrow 16(a^2+b^2)=16a^2+24ab+9b^2)

(Leftrightarrow 7b^2=24ab Leftrightarrow frac{a}{b}=frac{7}{24})

Chọn (left{begin{matrix} a=7\ b=24 end{matrix}right.)

Vậy phương trình đường thẳng ( d ) là :

( 3(x-3)+24(y-4) =0 )  

(Leftrightarrow 3x+24y-105=0)

Dạng bài về góc khi viết phương trình đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (M(x_0;y_0)) và tạo với đường thẳng (d’: Ax+By+C=0) một góc bằng (alpha)

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và dạng bài về góc

Ví dụ 

Cho đường thẳng (Delta : 3x-2y+1=0). Viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm ( M(1;2) ) và tạo với ( Delta ) một góc (45^{circ})

Cách giải 

Vì (M(1;2)in d Rightarrow) phương trình tổng quát của đường thẳng ( d ) có dạng :

(a(x-1)+b(y-2)=0)

Khi đó ta có :

(frac{1}{sqrt{2}}=cos (d,Delta)=frac{|3a-2b|}{sqrt{3^2+2^2}.sqrt{a^2+b^2}})

(Leftrightarrow 13(a^2+b^2)=2(9a^2-12ab+4b^2))

(Leftrightarrow 5a^2-24ab-5b^2=0)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} frac{a}{b}=-frac{1}{5}\ frac{a}{b}=5 end{matrix}right.)

Vậy ta chọn (left[begin{array}{l} (a;b)=(1;-5)\(a;b)=(5;1) end{array}right.)

Vậy phương trình đường thẳng ( d ) là :

(left[begin{array}{l} x-1-5(y-2)=0\5(x-1)+y-2=0 end{array}right.)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} x-5y+9=0\5x+y-7=0 end{array}right.)

Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến đường tròn 

Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( M(x_0;y_0) ) trên đường tròn

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và hình anh 9

Phương trình tiếp tuyến qua điểm ( N(x_N;y_N) ) nằm ngoài đường tròn

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và hình anh 11

Ví dụ 

Viết phương trình tiếp tuyến ( d )  của đường tròn ((C): x^2+y^2+8x+4y-5=0) và đi qua điểm ( A(1;2) ).

Cách giải

((C): x^2+y^2+8x+4y-5=0 Leftrightarrow (x+4)^2+(y+2)^2=5^2)

Vậy đường tròn ( (C) ) có tâm ( I(-4;-2) ) và bán kính ( R=5 )

Vì (A(1;2)in d Rightarrow d: a(x-1)+b(y-2)=0)

Do ( d ) tiếp xúc với ( (C) ) nên ta có :

(5=d(d,(C))= frac{|-5a-4b|}{sqrt{a^2+b^2}})

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} b=0\9b^2=20ab end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{l} b=0\frac{a}{b}=frac{9}{20} end{array}right.)

Ta chọn:

(left[begin{array}{l} (a;b)=(1;0)\ (a;b)=(9;20) end{array}right.)

Vậy phương trình đường thẳng ( d ) là :

(x-1=0) hoặc (9x+20y-49=0)

Các bài toán liên quan đến phương trình Elip

Dạng bài viết phương trình Elip

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương trình elip

Dạng bài tìm giao điểm giữa đường thẳng và Elip

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và hình ảnh 13

Dạng bài tìm điểm trên Elip thỏa mãn điều kiện

Với dạng bài này ta sử dụng các tính chất sau:

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và các dạng toán

Ví dụ 

Cho elip ((E): frac{x^2}{25}+frac{y^2}{4}=1). Tìm tất cả các điểm ( M ) trên ( (E) ) sao cho (widehat{F_1MF_2}=60^{circ})

Cách giải 

Tọa độ hai tiêu điểm của ( (E) ) là :

(left{begin{matrix} F_1 (-sqrt{21};0)\ F_2 (sqrt{21};0) end{matrix}right.)

Giả sử (M(a;b)in (E)) thỏa mãn (widehat{F_1MF_2}=60^{circ})

Khi đó ta có :

(F_1F_2^2 = MF_1^2+MF_2^2-2MF_1MF_2.cos widehat{F_1MF_2})

(Leftrightarrow 84=(a-sqrt{21})^2+(a+sqrt{21})^2+2b^2-sqrt{(a-sqrt{21})^2+b^2}.sqrt{(a+sqrt{21})^2+b^2})

(Leftrightarrow 84 = 2a^2+2b^2+42-sqrt{(a^2-21)^2+b^4+b^2(2a^2+42)})

(Leftrightarrow 2a^2+2b^2-sqrt{(a^2-21)^2+b^4+b^2(2a^2+42)}=42 hspace{1cm} (1))

Vì (M in (E)) nên ta có :

(frac{a^2}{25}+frac{b^2}{4}=1Leftrightarrow 4a^2+25b^2=100)

(Leftrightarrow a^2=25-frac{25b^2}{4})

Thay vào ( (1) ) giải phương trình một ẩn ( b^2 ) ta được (b^2=frac{16}{21})

(Rightarrow a^2 =frac{25.17}{21})

Vậy có 4 điểm ( M ) thỏa mãn là :

((frac{5sqrt{17}}{sqrt{21}};frac{4}{sqrt{21}}) ;(-frac{5sqrt{17}}{sqrt{21}};frac{4}{sqrt{21}});(frac{5sqrt{17}}{sqrt{21}};-frac{4}{sqrt{21}});(-frac{5sqrt{17}}{sqrt{21}};-frac{4}{sqrt{21}}))

Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng khó và nâng cao

Dạng bài toán về các đường trong tam giác

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và đường trogn tam giác

Ví dụ 

Trong mặt phẳng ( Oxy ) cho tam giác ( ABC ) với điểm ( A(1;1) ) . Các đường cao hạ từ ( B,C ) lần lượt có phương trình là (d_1: 2x-y+8=0; d_2:2x+3y-6=0) . Tìm tọa độ ( B,C ) và viết phương trình đường cao kẻ từ ( A )

Cách giải 

Ta có :

(d_1 bot AC Rightarrow AC : (x-1)+2(y-1)=0)

(Leftrightarrow x+2y-3=0)

(C=ACcap d_2Rightarrow) tọa độ của ( C ) là nghiệm của hệ phương trình :

(left{begin{matrix} x+2y-3=0\ 2x+3y-6=0 end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} x=3\ y=0 end{matrix}right. Rightarrow C(3;0))

Tương tự ta có (B(-17;26))

Từ đó ta có phương trình đường thẳng ( BC )

(frac{x-3}{-20}=frac{y}{26}Leftrightarrow 13x+10y+39=0)

Do đó phương trình đường cao từ ( A ) là :

(10(x-1)-13(y-1)=0Leftrightarrow 10x-13y+3-0)

Dạng bài tập phương trình đường thẳng có tham số

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương trình tham số

Ví dụ 

Cho hai đường thẳng (left{begin{matrix} d_1: mx+(m-1)y+5m =0 \ d_2: mx+(m-1)y +2=0 end{matrix}right.). Tìm ( m ) để khoảng cách giữa hai đường thẳng là lớn nhất.

Cách giải 

Dễ thấy 

( d_1 ) luôn đi qua điểm ( M(-5;0) )

( d_2 ) luôn đi qua điểm ( N(-2;2) )

Mặt khác

(d(d_1,d_2)leq MN)

Nên để khoảng cách là lớn nhất thì (MN bot d_1)

(Leftrightarrow overrightarrow{MN}. overrightarrow{d_1}=0Leftrightarrow 3m+2(m-1)=0)

(Leftrightarrow m=frac{2}{5})

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết, một số dạng toán cũng như cách giải của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm qua video dưới đây về phương trình tham số của đường thẳng:


(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm >>> Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian

Xem thêm >>> Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba

Xem thêm >>> Viết phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng

Please follow and like us:
error

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *