Chuyên đề chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết và Bài tập

Chia đa thức cho đa thức là dạng toán quan trọng trong chương trình toán học lớp 8 trung học cơ sở. Trong bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu cụ thể về chủ đề này nhé!

Lý thuyết chia đa thức cho đa thức 

Chia đa thức A cho đa thức B. Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến số ((Bneq 0)), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho (A=B.Q+R), trong đó (R=0) hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. 

Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B. 

Nếu (R=0) thì phép chia A cho B là phép chia hết. 

Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia

((A^{3}+B^{3}):(A+B)=A^{2}-AB+B^{2})

((A^{3}-B^{3}):(A-B)=A^{2}+AB+B^{2})

((A^{2}-B^{2}):(A+B)=A-B)

Ví dụ: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

1. ((125x^{3} + 1) : (5x + 1))
2. ((x^{2} –2xy + y^{2}) : (y – x))

Hướng dẫn giải:

1. ((125x^{3} + 1) : (5x + 1) = [(5x)^{3} + 1] : (5x + 1) =(5x)^{2}-5x+1 = 25x^{2}-5x+1)
2. ((x^{2}-2xy+y^{2}) : (y-x) = (x-y)^{2}: [-(x-y)] =-(x-y)=y-x)

         Hoặc ((x^{2}–2xy+y^{2}):(y-x) = (y^{2}-2xy+x^{2}) : (y-x))

Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Tìm thương và dư trong phép chia đa thức 

Phương pháp giải: từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A:B được kết quả là thương Q và dư R.

Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức (4n^{3}-4n^{2}-n+4) chia hết cho biểu thức (2n+1)

Hướng dẫn giải:

Thực hiện phép chia (4n^{3}-4n^{2}-n+4) cho  (2n+1) ta được:

(4n^{3}-4n^{2}-n+4=(2n+1)(n^{2}+1)+3)

Từ đó suy  ra, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho  (2n+1), tức là cần tìm giá trị nguyên của n để   (2n+1) là ước của 3, ta được:

(2n+1=3Leftrightarrow n=1)

(2n+1=1Leftrightarrow n=0)

(2n+1=-3Leftrightarrow n=-2)

(2n+1=-1Leftrightarrow n=-1)

Vây (n=1;n=0;n=2) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ứng dụng định lý Bezout khi giải 

Ngoài ra còn có các dạng toán liên quan như: chia đa thức chứa tham số; chia đa thức với đa thức nguyên hàm.

Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8

Giải câu 67 sgk Toán 8 tập 1 Trang 31

1.  (x3 – 7x + 3 – x2) : (x – 3).
2. (2x4 – 3x2 – 3x2 – 2 + 6x) : (x2 – 2).

Hướng dẫn giải:

1. (x3 – 7x + 3 – x2) : (x – 3)

     2. (2x4 – 3x2 – 3x2 – 2 + 6x) : (x2 – 2)

Giải câu 69 sgk Toán 8 tập 1 Trang 31

Cho hai đa thức (A = 3x^{4}+ x^{3} + 6x-5) và (B = x^{2}+1). Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng (A = B . Q + R)

Hướng dẫn giải:

Để có thể tìm được dư R và Q thì ta cần đặt phép tính và thực hiện phép chia đa thức:

Phép chia đa thức  (A = 3x^{4}+ x^{3} + 6x-5) cho (B = x^{2}+1) được thực hiện như sau:

Suy ra (Q = 3x^{2}+ x-3 ; R = 5x – 2)

Kết luận: (3x^{4}+ x^{3}+ 6x- 5 = (x^{2}+ 1)(3x^{2} + x-3) + 5x – 2)

Giải câu 71 sgk Toán 8 tập 1 Trang 32

Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không?

1. (A = 15x^{4}-8x^{3}+x^{2})

(B=frac{1}{2}x^{2})

      2. (A = x^{2}-2x+1)

(B=1-x)

Hướng  dẫn giải:

1. Ta thấy từng hạng tử của A : (15x^{4} ; 8x^{3} ; x^{2})  đều chia hết cho(x^{2})

Suy ra đa thức A chia hết cho đa thức B.

     2. Ta có: (A = x^{2}-2x+1=(1-x)^{2}), chia hết cho (1-x)

Suy ra đa thức A chia hết cho đa thức B.

Giải câu 73 sgk Toán 8 tập 1 Trang 32

Tính nhanh:

1. ((4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y))
2. ((27x^{3}-1) : (3x-1))
3. ((8x^{3}+1) : (4x^{2}-2x+1))                       
4. ((x^{2}- 3x + xy -3y) : (x + y))

Hướng dẫn giải:

1. ((4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y) = [(2x)^{2}–(3y)^{2}] : (2x-3y)=2x+3y)
2. ((27x^{3}-1) : (3x-1) = [(3x)^{3}-1] : (3x-1) = (3x)^{2} + 3x + 1 = 9x^{2} + 3x + 1)
3. ((8x^{3}+1):(4x^{2}–2x+1)=[(2x)^{3}+1]:(4x^{2}-2x+1)=(2x+1)[(2x)^{2}–2x+1]:(4x^{2}–2x+1)=(2x+1)(4x^{2}–2x+1):(4x^{2}–2x+1)=2x+1)
4. ((x^{2}-3x + xy -3y) : (x + y) = [(x^{2}+ xy)-(3x+3y)] : (x + y) = [x(x + y)-3(x + y)] : (x + y) = (x + y)(x-3) : (x + y) = x-3)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề chia đa thức cho đa thức: lý thuyết, ví dụ và cách làm. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản và mở rộng

Xem thêm >>>  Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang

Xem thêm >>> Quy tắc nhân đơn thức với đa thức và Một số dạng bài tập

Xem thêm >>> Chuyên đề dấu của tam thức bậc hai và Một số dạng bài tập

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)