Chuyên đề các dạng toán về Đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch

Tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Vậy kiến thức về các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận như nào? Tỉ lệ thuận là gì? Tỉ lệ nghịch là gì? Phương pháp giải bài toán tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch lớp 7?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, cùng tìm hiểu nhé!

Mục lục

  • 1 Tỉ lệ thuận là gì?
  • 2 Tỉ lệ nghịch là gì?
  • 3 Phương pháp giải bài toán tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch lớp 7
    • 3.1 Cách 1: Phương pháp rút về đơn vị
    • 3.2 Cách 2: Phương pháp tìm tỉ số
    • 3.3 Cách 3: Phương pháp tam suất đơn 
  • 4 Các dạng bài toán về tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch lớp 7 nâng cao
    • 4.1 Dạng bài toán tỉ lệ quy về bài toán tổng tỉ, hiệu tỉ
    • 4.2 Các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận – Dạng bài tam suất kép
  • 5 Cách phân biệt bài toán tỉ lệ nghịch và tỉ lệ thuận 
  • 6 Bài tập các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch

Tỉ lệ thuận là gì?

Nếu đại lượng ( y ) liên hệ với đại lương ( x ) theo công thức ( y=kx ) (với ( k ) là hằng số khác ( 0 ) ) thì ta nói ( y ) tỉ lệ thuận với ( x ) theo hệ số tỉ lệ ( k )

Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

  • Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng không thay đổi
    • ( frac{y_1}{x_1}= frac{y_2}{x_2}=…= frac{y_n}{x_n}=k )
  • Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
    • ( frac{y_n}{y_m} = frac{x_n}{x_m} )

Tỉ lệ nghịch là gì?

Nếu đại lượng ( y ) liên hệ với đại lương ( x ) theo công thức ( y=frac{k}{x} ) hay ( xy=k ) ( với ( k ) là hằng số khác ( 0 ) ) thì ta nói ( y ) tỉ lệ nghịch với ( x ) theo hệ số tỉ lệ ( k )

Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

  • Tích hai giá trị tương ứng của chúng không thay đổi:
    • ( x_1.y_1 = x_2.y_2 = … = x_n.y_n =k )
  • Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
    • ( frac{y_n}{y_m} = frac{x_m}{x_n} )

các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận và hình ảnh minh họa

Phương pháp giải bài toán tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch lớp 7

Để giải các bài toán chủ đề đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch lớp 7, cần tiến hành các bước sau đây:

  • Bước 1: Phân tích bài toán, xác định đại lượng là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch
  • Bước 2: Tìm hằng số ( k ) rồi từ đó áp dụng một trong ba cách : rút về đơn vị, tìm tỉ số, tam suất đơn để tính toán đại lượng cần tìm
  • Bước 3: Kết luận, đáp số.

Cách 1: Phương pháp rút về đơn vị

Thường áp dụng với các bài toán về năng suất. Từ dữ kiện đề bài ta tính xem một đơn vị đại lượng này tương ứng với bao nhiêu. Sau đó nhân với số đơn vị đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm để tính được kết quả.

Ví dụ:

Có một công việc nếu ( 15 ) công nhân làm thì hoàn thành sau 6 ngày. Hỏi nếu muốn hoàn thành công việc đó trong ( 2 ) ngày thì cần phải có bao nhiêu công nhân làm? Giả sử năng suất mỗi người công nhân là như nhau

Cách giải:

Ta thấy rằng nếu tăng số công nhân thì thời gian làm sẽ giảm đi. Vậy đây là bài toán tỉ lệ nghịch với hệ số ( k=15 times 6=90 )

Ta áp dụng phương pháp rút về đơn vị như sau:

Để hoàn thành công việc trong vòng 1 ngày thì cần số công nhân là:

( frac{15.6}{1}=90 ) (công nhân)

Vậy để hoàn thành công việc trong vòng 2 ngày thì cần số công nhân là:

( 90 : 2 =45 ) (công nhân)

Vậy muốn hoàn thành công việc đó trong ( 2 ) ngày thì cần phải có ( 45 ) công nhân.

Cách 2: Phương pháp tìm tỉ số

Phương pháp này sử dụng tính chất của bài toán tỉ lệ:

Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số (với đại lượng tỉ lệ thuận) hoặc nghịch đảo tỉ số với đại lượng tỉ lệ nghịch) hai giá trị tương ứng của đại lượng kia

Ví dụ:

Một chiếc xe máy có vận tốc (v= 45 ; ; km/h) và một chiếc ô tô có vận tốc (v= 60 ; ; km/h) cùng xuất phát từ Hà Nội đi Thanh Hóa. Biết thời gian xe máy đi là ( 4 ) giờ đồng hồ. Hỏi thời gian ô tô đi là bao nhiêu ?

Cách giải:

Vì vận tốc càng cao thì thời gian đi càng ngắn nên đây là bài toán tỉ lệ nghịch

Do đó nếu gọi thời gian ô tô đi là ( x ) thì theo tính chất trên ta có tỉ lệ :

( frac{45}{60} = frac{x}{4} )

Vậy từ đó ( Rightarrow x = frac{45}{60}.4 = 3 )

Vậy thời gian ô tô đi là ( 3 ) giờ

Cách 3: Phương pháp tam suất đơn 

Đây là phương pháp thường sử dụng với học sinh tiểu học và làm cho các phép tính trở nên gọn gàng. Các bài toán tỉ lệ sẽ thường cho giá trị ( 3 ) đại lượng (tam suất) rồi yêu cầu chúng ta tính giá trị đại lượng thứ ( 4 ). Bằng việc sử dụng tính chất của tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch, ta có thể dễ dàng tính được giá trị đại lượng này.

Ví dụ:

Một nhóm công nhân có ( 5 ) người, trong một ngày sản xuất được ( 35 ) sản phẩm. Hỏi nếu chỉ có ( 3 ) người công nhân thi trong một ngày sản xuất được bao nhiêu sản phẩm.

Cách giải:

Vì nếu tăng số lượng công nhân thì số sản phẩm sẽ tăng nên đây là bài toán tỉ lệ thuận.

Do đó áp dụng tính chất tỉ lệ thuận, ta có số sản phẩm ( 3 ) công nhân sản xuất được trong một ngày là:

( 35 times 3 :5 = 21 ) ( sản phẩm )

Vậy trong một ngày thì ( 3 ) công nhân sản xuất được ( 21 ) sản phẩm.

Các dạng bài toán về tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch lớp 7 nâng cao

Dạng bài toán tỉ lệ quy về bài toán tổng tỉ, hiệu tỉ

Với những dạng bài này, chúng ta cần tìm tỉ số ( k ) giữa hai đại lượng. Sau đó kết hợp với dữ kiện tổng ( hiệu ) mà bài toán cho để tìm ra giá trị của mỗi đại lượng

Ví dụ:

Hai ô tô cùng phải đi từ ( A ) đến ( B ). Biết vận tốc của xe thứ nhất bằng ( 60% ) vận tốc của xe thứ hai và thời gian xe thứ nhất đi từ ( A ) đến ( B ) nhiều hơn xe thứ hai là ( 3 )  giờ. Tính thời gian đi của mỗi xe

Cách giải:

Vì vận tốc càng tăng thì thời gian đi càng giảm nên hai đại lượng này tỉ lệ nghịch

Do đó, vì vận tốc xe thứ nhất bằng ( 60% ) vận tốc xe thứ hai nên

(Rightarrow) thời gian đi của xe thứ hai bằng ( 60% = frac{3}{5} ) thời gian đi của xe thứ nhất.

Vậy ta có sơ đồ sau:

các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận và bài tập

Hiệu số phần bằng nhau là : ( 5-3=2 ) (phần)

Giá trị của mỗi phần là : ( 3:2=1,5 ) ( giờ )

Vậy thời gian đi xe thứ nhất là : ( 1,5 times 5 = 7,5 ) (giờ)

Thời gian đi xe thứ hai là: ( 7,5-3 =4,5 ) (giờ)

Vậy xe thứ nhất đi hết ( 7,5 ) giờ, xe thứ hai đi hết ( 4,5 ) giờ.

Xem chi tiết >>> Chuyên đề Bài toán hiệu tỉ: Tổng hợp lý thuyết và Cách giải

Các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận – Dạng bài tam suất kép

Trong các bài toán về tỉ lệ thường có ba đại lượng. Ví dụ

  • Vận tốc, quãng đường, thời gian
  • Số người, năng suất, khối lượng công việc

Trong các bài toán ở phần trên thì sẽ có một dữ kiện cố định còn hai dữ kiện thay đổi ( tam suất đơn). Trong trường hợp cả ba đại lượng cùng thay đổi thì ta gọi đó là bài toán tam suất kép

Để giải các bài toán tam suất kép thì ban đầu ta cũng cố định một đại lượng. Sau khi tính toán như bài toán tam suất đơn thì ta nhân đại lượng đó với tỉ lệ so với yêu cầu để tìm được đáp số.

Ví dụ:

Một xưởng nhà máy có ( 100 ) công nhân làm việc trong ( 3 ) ngày thì sản xuất được ( 600 ) sản phẩm. Hỏi để sản xuất được ( 900 ) sản phẩm trong vòng ( 2 ) ngày thì cần bao nhiêu công nhân?

Cách giải:

Đầu tiên ta cố định số sản phẩm là ( 600 )

Để sản xuất ( 600 ) sản phẩm trong vòng ( 2 ) ngày thì cần số công nhân là :

(frac{100.3}{2} = 150 ) ( công nhân )

Vậy để sản xuất ( 900 ) sản phẩm trong vòng ( 2 ) ngày thì cần số công nhân là :

 ( [latex]150 times frac{900}{600} = 225 ) (công nhân)

Vậy để sản xuất được ( 900 ) sản phẩm trong vòng ( 2 ) ngày thì cần ( 225 ) công nhân.

Cách phân biệt bài toán tỉ lệ nghịch và tỉ lệ thuận 

  • Tỉ lệ thuận: Nếu đại lượng x tăng thì đại lượng y tăng. Nếu đại lượng x giảm thì đại lượng y giảm (Mối quan hệ cùng chiều). 
  • Tỉ lệ nghịch: Nếu đại lượng x tăng lên thì đại lượng y giảm xuống. Ngược lại nếu đại lượng y tăng thì đại lượng x giảm xuống (Mối quan hệ ngược chiều). 

Bài tập các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch

Sau đây là một số bài toán về tỉ lệ thuận , tỉ lệ nghịch có đáp án để các bạn tự rèn luyện:

Bài 1:

Một tam giác có độ dài hai cạnh lần lượt là ( 6cm ) và ( 9cm ). Biết tổng độ dài hai đường cao tương ứng với hai cạnh đó là ( 7,5 cm ). Tính diện tích tam giác đó ?

Đáp số : ( 13,5 cm^2 )

Bài 2:

Một nhà máy có ( 20 ) công nhân được giao chỉ tiêu sản xuất [/latex] 120 [/latex] sản phẩm trong vòng ( 5 ) ngày. Sau ( 2 ) ngày thì nhà máy cần đẩy nhanh tiến độ nên đã nhận thêm ( 10 ) công nhân từ nhà máy khác đến làm việc. Hỏi số sản phẩm còn lại sẽ được hoàn thành sau bao nhiêu ngày nữa ?

Đáp số : ( 2 ) ngày

Bài 3:

Một ô tô đi từ ( A ) đến ( B ) gồm ( 3 ) chặng đường. Đoạn ( AC ) leo dốc nên vận tốc ô tô là (40 ; km/h). Chặng ( CD ) đường bằng nên vận tốc ô tô là (60 ; km/h). Chặng ( DB ) xuống dốc nên vân tốc ô tô là (80 ; km/h). Biết tổng thời gian ô tô đi hết quãng đường ( AB là [latex] 9 ) giờ. Biết độ dài mỗi chặng là như nhau. Tính độ dài quãng đường ( AB )

Đáp số : ( 480 ; km )

Bài 4:

Nếu ( 5 ) người, mỗi người làm việc trong ( 6 ) giờ thì được nhận ( 150.000 ) đồng. Hỏi nếu ( 20 )  người, mỗi người làm việc trong ( 4 ) giờ thì được nhận bao nhiêu tiền? (Biết rằng giá trị giờ công của mỗi người là như nhau).

Đáp số : ( 400.000 ) đồng

Bài 5: 

Nếu (frac{1}{4}) của 20 là 4 thì (frac{1}{3}) của 10 là bao nhiêu?

Cách giải:

Ta có: 

(frac{1}{4}) của 20 là 5, nhưng theo giả thiết bài ra thì số này tương ứng với 4.

Tương tự (frac{1}{3}) của 10 là (frac{10}{3}), theo giả thiết thì số (frac{10}{3}) này phải tương ứng với số (x) cần tìm.

Vì 5 và (frac{10}{3}) tương ứng với (4)  và (x) là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên: 

(frac{5}{frac{10}{3}}=frac{4}{x}Rightarrow x=frac{4.frac{10}{3}}{5}=frac{8}{3})

Vậy (x=frac{8}{3}).

Bài 1 SGK toán 7 tập 1 tr53

Cho biết 2 đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x=6 thì y=4

  1. Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x
  2. Biểu diễn y theo x
  3. Tính giá trị của y khi x=9; x=15

Cách giải:

Do hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau, ta có công thức tổng quát: (y=kx)

  1. Với (x=6;y=4Rightarrow 4=k6)
    • Suy ra: (k=frac{4}{6}=frac{2}{3})
    • Vậy hệ số tỉ lệ  (k=frac{2}{3})

     2. Với (k=frac{2}{3}) ta được (y=frac{2}{3}x)

     3. Ta có: (y=frac{2}{3}x)

    • Với x=9 thì (y=frac{2}{3}.9=6)
    • Với x=15 thì (y=frac{2}{3}.15=10)

Bài 4 SGK toán 7 tập 1 tr54

Cho biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k và y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ h. Hãy chứng tỏ rằng z tỉ lệ thuận với x và tìm hệ số tỉ lệ.

Cách giải:

Theo đề bài ta có: 

  • z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k, do đó(z=ky (1))
  • y tỉ lệ thuân với x theo hệ số tỉ lệ h, do đó: (y=hx (2))
  • Từ (1) và (2) suy ra: (z=ky=k(hx)=(kh)x)
  • Vậy z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ (kh)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch cũng như phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề “các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận”. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây của thầy Đỗ Văn Bảo:


(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm >>> Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc lớp 7: Lý thuyết và Bài tập

Xem thêm >>> Chuyên đề số trung bình cộng lớp 7 và Các dạng toán liên quan

Xem thêm >>> Định nghĩa hình tam giác cân, tam giác vuông cân – Toán lớp 7

Please follow and like us:
error

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *